古代ギリシャにおいて数学は宗教であり、そのシンボルは正五角形であり、そして正五角形の中に描かれた星、五芒星であった。
古今東西、五芒星と正五角形は魔的図形であったが、古代ギリシャもそれは変わらない。
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（‥ ）古代ギリシャ人は
＼‐ 正五角形とその神秘に
夢中になったのだね
（‥ ）現在でいう黄金比を
体現した図形が
正五角形であり
五芒星なのだ
そしてユークリッドの
幾何原論
第２巻と第４巻は
この魔術を完成させる
ためのもの
そして本日、知った事実、というかこれまで見落としていて、今になって改めて実感した事実、というべきだろうか
正五角形と五芒星。この魔法図形の追求によって三角関数は完成する。
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（‥ ）よもや三角関数が
＼‐ 魔術の追求から
完成にこぎつけるとはね
（‥ ）まあ数学と物理学は
黒魔術の影響が
非常に強いから
元を探れば
どれも
なにかしら魔法がらみ
なんだけどもな
とはいえだ、三角関数完成のまさにその時に、魔法が関わっていたというのは、結構、強烈なものがある。具体的には円に内接する６角形、１０角形から５角形の辺を決定し、その数値からプトレマイオスの定理を使うことで三角関数の値を決めていくのだが、その過程の根幹が魔法の追求に基づいているのだ。
そして幾何原論第２巻、４巻、そして第１３巻、命題１０に基づく正五角形の作図はこのようになる。
∧∧
（‥ ）ここに正６角形と
＼‐ 正１０角形の作図も
隠れているわけだね
（‥ ）そもそも
正五角形を作図するには
６と１０が必要だからな
そして三角関数ここより始まる。詳しくはアルマゲストを参照のこと。
追記：一応、正五角形の作図方法について書くと、まず円を描き、さらに半径と半径の半分を辺とする直角三角形を描く（上図では右上の部分）。この時、半径を２とすると直角三角形の斜辺は√５。この斜辺と同じ長さの線を反対側の半径の半分から取る（例えばコンパスで√５を半径とする円を描いて、半径の延長の直線に下ろす）。すると√5-1が得られる（上図の左上にある直角三角形の底辺）。この√5-1と半径（この場合は2）を辺とする直角三角形を描く。この時に描かれる斜辺が正五角形の辺となる。以上の図もそうして描いたもの。
ちなみに小さなぶれがあると作図の過程でぶれが累積して大きくなるので、可能な限り丁寧に作図する必要がある。詳しくはアルマゲストか幾何原論第２巻命題１１を見よ。
これがユークリッドの幾何原論が追い求めた魔法陣作図術であり、この成果ゆえに三角法は完成を見た。